Couche limite atmosphérique

 

I definitions

 

I.1 Ecoulement turbulent et laminaire

 

Pour etudier et connaître le caractere turbulent d’un fluide, nous intrduisons le nombre de Reynolds  qui permet de mesurer le rapport entre les termes de transport et de viscocité dans les équations du mouvement.

                 

Re=(v*L)/u

 

V :vitesse du fluide

L : épaisseur de la couche.

u : viscocité cinématique

 

On definit ainsi le Reynolds critique tel que Rec=50000, en partant de cette valeur nous pouvons determiner le caractere turbulent ou laminaire du fluide.

Si Rec<Re nous avons un écoulement turbulent

Si Rec>Re nous avons un écoulement laminaire.

Ainsi si nous prenons le cas de l’atmosphère, le Re étant tres grand, nous avons alors une couche limite turbulent, il se developpe en permanence des instabilité hydrodynamique qui donnent lieu à de forte turbulence.

 

II Equation de la couche limite

 

II.1 Un peu de traitement du signal

 

Soit un signal aleatoire :

                        signal

 

Pour étudier la moyenne de ce signal (ligne rouge), nous calculons

      U(t)=1/Tòu(t)dt.

 

On obtient alors la moyenne du signal qui ici represente la moyenne d’une vitesse et qui varie lentement dans l’espace et le temps et d’une fluctuation turbulente variant de maniere plus rapide que l’on notera u’

 

On obtient alors u(t)=U(t)+u’

 

II.2 Equation de Reynolds

 

On part des équations du mouvement

 

                 

            Du/Dt=-(1/r)P/x+fv-fw+Fu

            Dv/Dt==-(1/r)P/y-fu+Fv

            Dw/Dt=-(1/r)P/z+g(sr-s)+f’u+Fw

            Ds/Dt=Fe/T

            u/x+v/y+w/z=0

 

Ces équations permettent de décrire les mouvements de petites echelles.

D’apres la définition de la vitesse donnée precedement.

Pour chaque paramètre, nous pouvons définir une valeur décomposable en deux termes tels que :

U(t)=U+u’

V(t)=v+v’

W(t)=w+w’

P=p+p’

S=s+s’

 

U v et w sont les composantes de la vitesse

P la pression

S l’entropie.

u/x+v/y+w/z=0 équation de continuité.

On remplace alors dans nos équations du mouvememts, les nouveaux termes et on obtient alors les équations de Reynolds

 

           

            Du/Dt+(u’²/x)+(v’w’/y)+(w’u’/z)=-(1/r)P/x+fv-f’w+Fu

            Dv/Dt+(u’v’/x)+(v²’/y)+(w’v’/z)==-(1/r)P/y-fu+Fv

            Dw/Dt+(u’w’/x)+(v’w/y)+(w²’/z) =-(1/r)P/z+g(sr-s)+f’u+Fw

            Ds/Dt+(u’s’/x)+(v’s’/y)+(w’s’/z)=Fe/T

            u/x+v/y+w/z=0

 

Toutefois, comme l’on s’interresse au fluide atmosphérique, nous pouvons simplifier les équations.

Les gradients horizontaux des flux turbulents sont négligeables vis à vis des flux turbulents verticaux.

En effet, les variations verticales sont beaucoup plus rapide suivant la verticale que l’horizontal.

Enfin, on se trouve dans un systeme en équilibre hydrostatique et l’on tend vers un equilibre geostrophique lorsque on s’eleve en altitude.

Les vitesses w sont souvents négligeables donc les équations deviennent

 

     

            Du/Dt+(w’u’/z)=-(1/r)P/x+fv

            Dv/Dt+(w’v’/z)==-(1/r)P/y-fu

            0=-(1/r)P/z+g(sr-s)

            Ds/Dt+(w’s’/z)=Fe/T

            u/x+v/y+w/z=0

 

                 

Systeme d’équation régissant la couche limite.

Du/Dt dérivée particulaire qui comprend des termes non lineaire et traduit l’advection du flux suivant u, meme topo pour Dv/Dt suivant v

-(1/r)P/x gradient de pression suivant x

fv parametre de coriolis multiplié par la composante v de la vitesse

fu parametre de coriolis multiplié par la composante u de la vitesse.

(w’u’/z) flux turbulent suivant z

 

u’w’ est le frottement turbulent ou le flux turbulent de quantité de mouvement

On introduit alors la tension de frottement

t=-r u’w’+mU/z

mU/z frottement de viscocité.

Donc la tension de frottement est la somme du frottement turbulent et d’un frottement de viscocité.

Le premier terme -r u’w’ dépend du type d’écoulement tandis que mU/z depend de la nature du fluide.

 

En résumé Nous avons montré que la vitesse en couche limite était composée d’une vitesse moyenne variant lentement dans le temps et l’espace et une fluctuation turbulente rapide, de même que la pression et l’entropie.

Enfin, dans l’atmosphère, les frottements et les termes de viscocités varie de manière beaucoup plus rapide suivant la verticale que l’horizontale.

 

II.3 Profil des vitesses et de température dans la couche limite

 

Définition la couche limite est l’altitude à laquelle U(z)=99% de Uµ

En atmosphère, l’altitude maximale de la couche limite se situe vers 1500m.

Mais cette limite peut varier suivant que l’on se situe en écoulement laminaire ou turbulent.

On represente les profils de vitesse pour les deux types d’écoulement

Regime laminaire :

 

                  laminaire

 

 

 

 

dl represente l’altitude maximale de la couche limite en regime laminaire.

 

Régime turbulent :

 

                  turbulent

 

On constate que dl turbulent << dl laminaire.

 

Representation du profil de température au dessus d’une surface marine.

 

            temperature

 

Sur le graph, on voit une inversion thermique apparaître en altitude.

Les effets thermiques ont role important sur la dynamique des masses d’air, celles-ci empechent les mouvements verticaux et on evite de ce fait tout brassage entre masse d’air chaud et froid.

C’est le phénomène d’inversion thermique que l’on rencontre dans l’atmosphère.

 

 

II.4 Energie cinetique turbulente

 

L’équation est

 

                  Et=(1/2)r(u’²+v’²+w’²)

 

u’²+v’²+w’² sont les vitesses turbulentes moyenne.

 

L’équation de l’évolution de l’energie est :

(et/z)=-(w’e’t)/z-(1/r)(w’p’)/z-net/z-(u’w’u/z+v’w’v/z)+gw’s’-2n(u’i/xj)(u’i/xj)

 

Nous avons alors 4 termes importants qui apparaissent dans l’equation de l’evolution.

1 terme de production d’energie cinetique turbulente par la dynamique

u’w’u/z+v’w’v/z

 

2 terme de transport de turbulence

-(w’e’t)/z-(1/r)(w’p’)/z-net/z

 

3 terme de production d’energie cinetique turbulente par la thermique

gw’s’ que l’on peut traduire egalement par

(g/q)(qw’) avec q temperature.

 

4 terme de dissipation de l’energie cinetique turbulente

-2n(u’i/xj)(u’i/xj)

 

Enfin le fait important est que la couche limit est en équilibre car la somme des 4 terme est nulle.

Et afin de de determiner les differents régime de turbulence, on introduit le nombre de richardson tel que

Ri=((g/q)(qw’))/ (u’w’u/z+v’w’v/z)

Rapport entre le 3eme et le 1er terme, rapport entre la production d’energie cinetique par la thermique et le la production d’energie cinetique par la dynamique.

Suivant le signe de Ri, on determine le type de turbulence, ainsi

 

Ri<0

Le regime est dit instable, les forces d’archimede joue un role important en créant de la turbulence.

Cette situation se rencontre par situation d’été lorsque la masse d’air presente une instabilité avec des développements de nuages convectifs et developpement d’orage.

 

Ri=0

Le regime est dit neutre, c’est a dire que le regime est neutre vis a vis des forces d’archimedes.

Cette situation se rencontre lorsque la masse d’air est en instabilité conditionnelle.

Il faut alors un forcage sur la masse d’air pour la rendre instable, c’est le cas lorsque la masse d’air se trouve contraint de s’elever lorsque elle arrive sur un relief.

 

Ri>0

Le regime est dit stable.

Les forces d’archimede jouent un role important en detruisant l’energie cinetique turbulente.

Ce regime se rencontre en periode anticyclonique.

Nous avons alors de la subsidence qui tend à stabiliser la masse d’air.

 

III.Modèle d’Ekman

 

On part des équations de Navier-Stockes à une altitude z

 

ru/t=-P/x+txz/z+rfv

rv/t=-P/y+tyz/z-rfu

 

txz=-r u’w’+mU/z

avec -r u’w’ flux turbulent de quantité de mouvement.

 

Lorsqu’on descend dans la couche limite, il apparaît une deviation dans la direction du vent et une diminution en intensité.

En reprenant les équations precedentes et en introduisant la deviation par rapport au vent géostrophique, on obtient alors le systeme d’équation suivant

 

ru/t=txz/z+rf(v-vg)

rv/t=tyz/z-rf(u-ug)

 

avec vg et ug composante de la vitesse du vent geostrophique.

 

Demonstration de la spirale d’ekman

Dans la couche limite,

txz=-r u’w’=rKt(U/z)

avec Kt coefficient de viscocité turbulente.

On definit le vecteur vitesse :

®

V=u+iv avec i nombre complexe.

Donc en remplacant dans nos équations on obtient

[/t+if-Kt²/z²]v=ifvg

On definit la vitese geostrophique complexe Ug=ug+ivg

On cherche alors une solution stationnaire ce qui entraine /t=0, de plus

®      ®                                ®

V tend Vg quand z tend vers l’infini     V tend vers 0 à la surface z=0

On obtient alors une équation differentielle d’ordre 2

²V/z²=(if/k)V

Donc on en deduit la solution de l’équation qui est de la forme

V=V1e(z(1+i)(f/2k)1/2+V2e(-z(1+i)(f/2k)1/2

On definit alors la profondeur d’ekman tel que k=[f/2K]1/2 en m-1

On obtient alors les deux composantes de la vitesse suivant z

On pose ze=p(2k/f)1/2

 

U(z)=Ug(1-e-pze/zcosp(z/ze))

U(z)=Uge-pze/zsinp(z/ze))

 

Donc le vent en se déplacant dans la couche limite à une forme spiralé.

Nous presentons ci-dessous l’hodographe du vent

 

                  spirale

 

En resumé : dans la couche limite, le vent devie de plus en plus de sa direction lorsqu’on s’enfonce dans la couche limite, l’intensité du vent dimimune également.

Cette déviation va également dependre de l’hémisphère dans lequel on se situe, vers la droite dans l’hemisphère nord et la gauche dans l’hemisphère sud.

Au final, on obtient une spirale, celle-ci a été mise en evidence par Ekman oceanographe du début du 20eme siecle, on retrouve le même scenario dans l’ocean pour les courants..

 

 

 

IV.Couche de surface

 

Ici, on se situe pres du sol, donc l’ épaisseur concerné est de quelques mètres.

Dans cette couche, nous avons une vitesse qui varie de manière logarithmique.

Pour connaître la vitesse moyenne dans cette couche, on introduit une fonction logarithmique tel que

                     

                        U(z)=(u*/ka)ln(z/zo).

 

U* est definit par (t/r)1/2

Ka constante de karman tel que ka=0.4

Z altitude

Zo paramètre dependant de la rugosité du sol.Cette rugosité va varier suivant le type de sol et de la hauteur des obstacles.

Pour determiner le coefficient de frottement on calcule cd tel que

 

 

                        Cd=(ka/ln(z/zo))²

Ici, on ne tient pas compte des effets thermiques qui en réalité joue un role très important, il faudrait alors faire intervenir le nombre de richardson (defini plus haut) qui introduit ces effets thermiques.

 

IV.1 longueur de Monin et obhukov

 

Tel que L=1/R

L defini le degre de stratification

R nombre de richardson.

 

Un point important et fort interessant est l’evolution des vitesses dans le cas stable et instable suivant les 3 composantes

Cas instable :

 

 

                  instable

 

L’axe des abscisses represente une frequence dont l’echelle varie de -10-2 à -101.

La distance z/L est negative donc importance L qui est fonction de Ri.

Fw augmente fortement en cas instable, vitesse ascendante importante dans ces situations.

 

 

Cas stable :

                       

                                   stable

 

Dans le cas stable, z/L positif.

L’axe des abscisses est cotés en hertz.

On voit que les vitesses varient peu dans ces situations.

 

 

Si maintenant on etudie les coefficients de correlation entre la vitesse u’ et w’ dans le cas stable et instable, on obtient alors les cas suivant

 

Cas instable

 

     

 

            correlation

 

 

En rouge, le coefficient de correlation entre la température et la vitesse verticale.

On s’apercoit que ce coefficient de correlation tend vers 1, donc nous avons deux variables bien correlés.

En effet, en periode d’instabilité, les mouvements ascendants sont dependant de la temperature (voir le nombre de richardson)

Par contre le coefficient de correlation entre la vitesse horizontale et verticale tend vers 0 donc nous avons deux variables non corrreles.

 

Cas stable

correlation stable

                                                                           

 

Il est interessant de voir qu’en situation stable, la température et la vitesse verticale sont non correles.

Par contre u’ et w’ sont bien correles.

 

 

V Conclusion

 

Nous avons essaye à travers ces quelques exemples de presenter la variation des paramètres atmosphériques en couche limite.

Toutefois ces exemples ne representent qu’une part infime de la couche limite.

La spirale d’ekman étant certainement le point le plus representatif de la variation de la vitesse en couche limite.

Bien sur, ces phenomènes ne sont pas independant des écoulements synoptiques.

Ces écoulements atmosphériques sont fortements influencés par l’océan et la couche de surface se trouve alors modifié par la circulation océanique qui elle-meme est engendré par l’écoulement atmosphérique, on ouvre alors la voie au couplage ocean-atmosphère dont les deux fluides sont en permanente interaction….